Количественно о роли знаний

Заметка Юрия Выменца

Обозначения:

K — набор фактов, необходимых для взятия вопроса (факты категорий I и II в терминологии «Уроков анатомии»).
N — число игравших команд
NK — число команд, обладавших всеми знаниями K.
NA — число команд, взявших вопрос

Обычно NA меньше NK, так как вопрос берут только команды, обладавшие необходимыми знаниями. Конечно, иногда кто-то попадает в ответ случайно или гениальным озарением, но этим эффектом мы пренебрегаем. Если бы он был значимым, знания не были бы необходимыми.

Трудность вопроса, возникшая из-за того, что для взятия нужно знать факты K, равна (N — NK) / N, то есть 1 — NK/N. Эту величину мы обозначим DK.

Трудность вопроса, созданная остальными факторами — необходимостью проделать технические или содержательные ходы (в терминологии той же статьи), удержать форму вопроса и т.д. — равна (NK — NA) / NK, то есть 1 — NA/NK. Эту величину мы обозначим DL.

Минимальное условие приемлемости вопроса: DL больше DK. Знания не должны составлять большую часть трудности вопроса.

Формулы для DK и DL показывают, что это условие эквивалентно следующему: N*NA < NK².

Если p это доля команд, взявших вопрос, а k это доля команд, знавших факты K, то NA=p*N, NK=k*N, а условие приобретает простой вид:

p < k²

Например, если вопрос взяли 50% команд, то все необходимые факты должны быть известны хотя бы 71% команд.

Если вопрос взяли 40% команд, то все необходимые факты должны быть известны хотя бы 63% команд.

Если вопрос взяли 30% команд, то все необходимые факты должны быть известны 55% команд.

Если вопрос взяли 20% команд, то все необходимые факты должны быть известны 45% команд.

Если вопрос взяли 10% команд, то все необходимые факты должны быть известны 32% команд.

Если вопрос взяли 5% команд, то все необходимые факты должны быть известны 22% команд.

А вот знания, которым обладают 10% команд, можно требовать только в вопросе, который возьмёт 1% команд. Если в турнире играют меньше 100 команд, то такого знания требовать вообще нельзя.

Упражнение: Вопрос взяли 80% команд, необходимых знаний не было у 5% команд. Имеет ли такой вопрос право на существование?

Спасибо Мише Перлину, побудившему меня оформить это в письменном виде.

Оригинал статьи был опубликован в ЖЖ автора 6 ноября 2009 года.